Heinrich Schwery wurde 1932 in St. Léonard (VS) geboren. Er studierte in Sitten und Rom Theologie und wurde 1957 zum Priester geweiht. Schwery studierte ausserdem Mathematik und theoretische Physik in Freiburg. Am kantonalen Kollegium in Sitten war er als Physiklehrer und Rektor tätig, ehe er 1977 zum Bischof geweiht wurde. Von diesem Amt trat er 1995 aus gesundheitlichen Gründen zurück. 1991 ernannte ihn Johannes Paul II. zum Kardinal.
In seine Amtszeit als Bischof von Sitten fiel das Schisma durch Erzbischof Marcel Lefebvre, der 1988 gegen den Willen des Papstes in Ecône (VS) vier Bischöfe weihte. Bei seinem Rücktritt als Bischof von Sitten lobte der damalige Abt von Einsiedeln, Georg Holzherr, Schwery habe gegenüber Ecône eine «sehr kluge, überlegte und begründete Stellung» eingenommen und die Situation klar eingeschätzt. Im Konflikt um den Churer Bischof Wolfgang Haas, der von 1990 bis 1997 Bischof von Chur war, ehe er zum Erzbischof von Vaduz ernannt wurde, versuchte Heinrich Schwery zu vermitteln: Als Mitbruder stehe er in der bischöflichen Kollegialität «bedingungslos zu Bischof Haas», als Zeuge der starken Opposition wie auch der Spaltung in dessen Diözese leide er mit allen, die darunter litten, sagte er 1991. Angst vor dem Tod habe er nicht, sagte Schwery 2017 gegenüber cath.ch. «Wenn es Schmerzen verursacht, werde ich weinen. Das ist alles.»